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Prima di parlare del modello numerico è forse meglio accennare a cosa sia griglia di calcolo.

Le equazioni che governano il sistema fisico non sono risolvibili per via analitica, ovvero non è possibile con gli strumenti matematici a disposizione ottenere una legge che descriva il comportamento di ogni problema fluidodinamico.

L’impedimento può essere aggirato attraverso la semplificazione del modello geometrico e attraverso l’approssimazione della soluzione solo in alcuni punti. Per fare ciò è necessario scomporre il dominio in parti più piccole. Se il dominio è bidimensionale bisogna creare una griglia costituita da nodi e da maglie chiamate celle. Il dominio diventerà quindi una scacchiera e le equazioni verranno calcolate nei soli nodi della griglia. Visto che i segmenti delle singole maglie sono comuni a due celle, è necessario che i principi energetici siano rispettati tra cella e cella, ecco che si introduce il concetto di flusso delle grandezze che verrà bilanciato tra le singole celle.

Se invece il dominio è un solido tridimensionale, la discretizzazione interessa non solo la superficie esterna, ma anche tutto il volume interno. Quindi il nostro dominio sarà scomposto in piramidi o in prismi. Le equazioni saranno ancora calcolate nei punti che sono i vertici dei volumetti, ma adesso i flussi dovranno essere bilanciati sia sui segmenti che uniscono i punti che sulle superfici di comuni tra i singoli elementi. In sostanza la nostra griglia diventa come un melograno i cui singoli semi sono gli elementi e il loro insieme forma la struttura complessiva.

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Adesso è possibile spiegare un po' meglio cosa sia un modello numerico.

Il modello numerico è il cuore del programma CFD e permette di risolvere le equazioni che governano il problema. La base della risoluzione dei problemi discretizzati è l’approssimazione delle variabili nei punti della griglia di calcolo. L’approssimazione avviene utilizzando diversi schemi di calcolo e i principali sono:

Differenze Finite (FDM)

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Elementi Finiti (FEM)

Volumi Finiti (FVM)

Tutti quanti si basano sulle seguenti operazioni:Loxton Parker Shopper Katie Teal Loxton Katie

Approssimazione delle variabili incognite per mezzo di funzioni più o meni semplici

Sostituzione delle funzioni di approssimazione nelle equazioni e loro calcolo nei punti della griglia.

Soluzione del sistema complessivo.

Il metodo alle differenze finite approssima le variabili nei nodi utilizzando i valori calcolati nel singolo nodo e facendo uso delle espansioni in serie (di Taylor per lo più) al fine di approssimare le derivate.

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Il metodo degli elementi finiti utilizza delle funzioni che assumeranno valori diversi nei nodi. Molto dissimile dal metodo delle differenze finite per il quale si parte dal valore nel nodo e non si utilizzano funzioni. A questo punto non è necessario creare delle espansioni, ma basta sostituire le funzioni approssimanti direttamente nelle equazioni che governano il sistema.

Il metodo spettrale si basa anch’esso sull’approssimazione delle variabili nei nodi, ma con serie di Fourier o polinomi di Chebyshev. Caratteristica peculiare di questi metodi è che la funzione approssima la variabile non nel singolo nodo (FDM) o nei nodi adiacenti (FEM), ma su tutto il dominio di calcolo.

Il metodo dei volumi finiti invece risolve le equazioni in ciascuno dei volumetti di cui la griglia è composta. La soluzione avviene attraverso un metodo simile alle differenze finite. Quindi le soluzioni vengono bilanciate tra i diversi volumi e si procede così in modo iterativo fino al raggiungimento di una soluzione accettabile.

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